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Gemischtes Oligopol und Wohlfahrt
Um deine Aufgabe effektiv zu lösen, beginnen wir mit der Einrichtung des Modells für ein gemischtes Oligopol. In einem gemischten Oligopol mit einem privaten Unternehmen und einem öffentlichen Unternehmen, werden wir die unterschiedlichen Ziele dieser beiden Akteure betrachten: Das private Unternehmen möchte seinen Profit maximieren, während das öffentliche Unternehmen auf die Maximierung der gesellschaftlichen Wohlfahrt ausgerichtet ist.
Die Gewinnfunktion des privaten Unternehmens
Du hast bereits die Gewinnfunktion des privaten Unternehmens angegeben, welche ist:
\(
\pi = pq - cq
\)
wobei \(p\) der Preis des Produktes ist, \(q\) die Menge des produzierten Gutes und \(c\) die Kosten pro Einheit.
Die Wohlfahrtsfunktion
Um die Wohlfahrtsfunktion aufzustellen, müssen wir zunächst eine lineare Nachfragefunktion definieren. Eine typische lineare Nachfragefunktion kann wie folgt aussehen:
\(
p = a - bQ
\)
Hier ist \(a\) der maximale Preis, den Konsumenten bereit sind zu zahlen, \(b\) ist die Steigung der Nachfragekurve, und \(Q\) ist die Gesamtmenge des Gutes auf dem Markt (d.h., \(Q = q_1 + q_2\), wenn \(q_1\) die Menge ist, die vom privaten Unternehmen hergestellt wird und \(q_2\) die Menge, die vom öffentlichen Unternehmen hergestellt wird).
Die gesellschaftliche Wohlfahrt umfasst den Konsumentenüberschuss und den Produzentenüberschuss. Der Konsumentenüberschuss ist die Differenz zwischen dem, was Konsumenten bereit sind zu zahlen, und dem, was sie tatsächlich zahlen. Der Produzentenüberschuss (hier der gesamte Profit) ist die Differenz zwischen dem, was für die Produkte erhalten wird, und den Produktionskosten.
Die Wohlfahrtsfunktion (W) kann man daher wie folgt ansetzen:
\(
W = Konsumentenüberschuss + Produzentenüberschuss - Produktionskosten
\)
wobei der Konsumentenüberschuss durch die Fläche unter der Nachfragekurve bis zum tatsächlichen Preis und über die Menge, die vom gesamten Markt angeboten wird, berechnet werden kann. Die präzise formale Berechnung des Konsumentenüberschusses hängt von der spezifischen Form der Nachfragefunktion ab.
Die Produzentenüberschüsse der Unternehmen, in diesem Fall das private Unternehmen und das öffentliche Unternehmen, sind einfach die jeweiligen Gewinne aus dem Verkauf ihrer Produkte, abzüglich ihrer Produktionskosten.
Maximierung der Wohlfahrt
Das öffentliche Unternehmen maximiert die Wohlfahrt unter Berücksichtigung der Auswirkungen seiner Produktionsentscheidungen auf den Preis und die Gesamtmenge des Gutes sowie auf die Konsumenten- und Produzentenüberschüsse. Um die Wohlfahrtsfunktion zu maximieren, musst du sie nach der Menge ableiten, die vom öffentlichen Unternehmen angeboten wird (\(q_2\)), und diese Ableitung gleich Null setzen.
Maximierung der Gewinne
Das private Unternehmen maximiert seinen Gewinn, indem es die Gewinnfunktion nach seiner produzierten Menge (\(q_1\)) ableitet, die Ableitung gleich Null setzt und nach \(q_1\) auflöst.
Zusammenführung
Um beide Ziele in Einklang zu bringen, musst du das Gleichgewicht finden, in dem beide Akteure ihre jeweils optimierten Mengen anbieten, wobei die Marktnachfrage und die Interaktionen zwischen dem privaten und dem öffentlichen Sektor berücksichtigt werden.
Die konkrete Lösung hängt von den spezifischen Werten von \(a\), \(b\) und \(c\) in deinem Modell ab sowie davon, wie du die sozialen Kosten und den Konsumentenüberschuss genau definiert hast. In der Praxis bedeutet dies, das System der Gleichungen, das aus der Ableitung der Gewinn- und Wohlfahrtsfunktionen entsteht, zu lösen.
