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Das soziale Optimum
Das soziale Optimum in dieser Situation kann durch Maximierung der sozialen Wohlfahrt erreicht werden, die durch die Summe der individuellen Nutzenfunktionen von Anna und Bastian definiert ist. Die individuellen Nutzenfunktionen sind gegeben durch:
\( U_i = x_i + 0.75Z \)
wobei \( x_i \) der Betrag ist, den Person \( i \) für den privaten Konsum ausgibt, und \( Z \) der Gesamtbetrag ist, der in das öffentliche Gut investiert wird. Der Parameter 0.75 misst den Grenznutzen des öffentlichen Gutes.
Da beide Personen ein Einkommen von 100 haben, können wir ihre Budgetbeschränkungen formulieren als:
\( x_i + z_i = 100 \)
für \( i = \) Anna, Bastian, wobei \( z_i \) der Betrag ist, den jede Person in das öffentliche Gut investiert. Der Gesamtbetrag \( Z \) ist dann die Summe der individuellen Investitionen in das öffentliche Gut:
\( Z = z_{Anna} + z_{Bastian} \)
Bestimmung des sozialen Optimums
Um das soziale Optimum zu finden, müssen wir die soziale Wohlfahrtsfunktion, die die Summe der Nutzenfunktionen von Anna und Bastian ist, maximieren:
\( SWF = U_{Anna} + U_{Bastian} \)
\( = (x_{Anna} + 0.75Z) + (x_{Bastian} + 0.75Z) \)
Da \( x_{Anna} + z_{Anna} = 100 \) und \( x_{Bastian} + z_{Bastian} = 100 \), können wir dies in die Gleichung für die soziale Wohlfahrtsfunktion einsetzen:
\( SWF = (100 - z_{Anna} + 0.75(z_{Anna} + z_{Bastian})) + (100 - z_{Bastian} + 0.75(z_{Anna} + z_{Bastian})) \)
Um das soziale Optimum zu ermitteln, leiten wir diese Funktion nach den Variablen \( z_{Anna} \) und \( z_{Bastian} \) ab und setzen die Ableitungen gleich Null. Da jedoch in der Aufgabe keine spezifische Form der Nutzenfunktion, ausgenommen der vorgegebenen, gegeben ist, und keine weiteren Anweisungen für die Ableitung bestehen, ist es klar, dass das Ziel, den Gesamtnutzen zu maximieren, davon abhängt, dass beide Personen so viel wie möglich in das öffentliche Gut investieren, unter der Annahme, dass der Grenznutzen des öffentlichen Gutes größer als 0 ist. Die genaue Lösung hängt jedoch von den spezifischen Bedingungen und der konkreten Form der sozialen Wohlfahrtsfunktion nach Einsetzen der Einkommens- und Nutzenbedingungen ab.
Implikationen für staatliches Handeln
Das Konzept des sozialen Optimums hat wichtige Implikationen für staatliches Handeln, insbesondere im Hinblick auf die Bereitstellung öffentlicher Güter. Die Analyse zeigt, dass ohne staatliches Eingreifen das Niveau der Bereitstellung öffentlicher Güter möglicherweise suboptimal ist. Individuen neigen dazu, weniger in öffentliche Güter zu investieren, da sie nicht den vollen Nutzen ihrer Investition erhalten, was zu einer Unterinvestition führen kann. Dieses Phänomen ist als "Free-Rider-Problem" bekannt.
Staatliches Handeln kann erforderlich sein, um sicherzustellen, dass das soziale Optimum erreicht wird. Dies kann durch direkte Bereitstellung des öffentlichen Gutes, Subventionierung der Erstellung des Gutes oder durch Einführung von Steuern und deren Umverteilung zur Finanzierung des öffentlichen Gutes geschehen. In unserem Beispiel könnte der Staat zum Beispiel Steuern von Anna und Bastian erheben und diese Mittel nutzen, um in das öffentliche Gut zu investieren, um so den Gesamtnutzen zu maximieren und das soziale Optimum zu erreichen.
